1. 命題
1.1. 命題とは？
命題は、論理学や数学、情報処理の分野で使用される基本的な概念です。命題は、「真」または「偽」のいずれかの値を持つ文や文の意味を指します。命題は、その文が「真」であるか「偽」であるかを明確に判断できるものを指します。
1.2. 命題の特徴
- 真偽値：
命題は、必ず真または偽のいずれかの値を持ちます。中間の値や曖昧さは存在しません。 - 不変性：
命題の真偽は、時間や場所、文脈によって変わることはありません。一度真偽が定まれば、それは不変です。
1.3. 命題の例
- 「地球は丸い」：
これは真の命題です。 - 「2 + 3 = 6」：
これは偽の命題です。
1.4. 命題でない例
- 「この花はきれいだね？」：
質問文なので、命題ではありません。 - 「もっと速く！」：
命令文なので、命題ではありません。
1.5. 命題の応用
命題は、論理学や情報処理の分野で多くの応用があります。例えば、プログラミングにおける条件分岐やループの制御、論理回路の設計、命題論理の研究などで命題の概念が使用されます。
1.6. 命題論理
命題を基にした論理学の一分野を「命題論理」と呼びます。命題論理では、命題の真偽を基にして複雑な論理式を構築し、その真偽を求めることができます。命題論理の基本的な演算には、論理和（OR）、論理積（AND）、否定（NOT）、条件（IF … THEN …）などがあります。
命題は、真偽を持つ文の意味を指す基本的な概念であり、多くの分野でその重要性が認識されています。特に、論理的な思考や判断を行う際には、命題の理解が不可欠です。
2. 集合とベン図
2.1. 集合
2.1.1. 集合とは？
集合とは、いくつかのものや事柄をひとまとめにしたものを指します。これらのものや事柄を「要素」と呼びます。集合は、その中に含まれる要素によって特定され、要素の順番や重複は考慮されません。要素を持たない集合を空集合 \(\varnothing\) と呼びます。
2.1.2. 集合の例
- 数字の集合：{1, 2, 3, 4, 5}
- 文字の集合：{A, B, C}
- 色の集合：{赤, 青, 緑}
- 空集合：{ }
2.1.3. ベン図
ベン図は、19世紀の英国の論理学者ジョン・ベンによって考案された、集合やその関係性を図示する方法です。ベン図は、通常、円や楕円を用いて集合を表現し、これらの円の重なり合う部分や含まれる部分を利用して、集合間の関係（和集合、積集合、差集合など）を視覚的に示します。
「集合A」と「数字の集合：{1, 2, 3, 4, 5}」の例を以下に示します。
2.2. 部分集合
部分集合とは、集合Bが集合Aの含まれる（包含関係）場合を言います。\(B \subset A\)と表記します。
2.3. 和集合
和集合とは、集合Aと集合Bの要素すべてを含む範囲を表します。（合併）\(A \cup B\)と表記します。
2.4. 積集合
積集合とは、集合Aと集合B両方に所属する要素すべてを含む範囲を表します。（共通）\(A \cap B\)と表記します。
2.5. 差集合
差集合とは、集合Aから集合Bに所属する要素を除いた範囲を表します。（差）\(AーB\)と表記します。
2.6. 補集合
全体集合U（すべての要素を含む集合）においてĀ（Aの補集合）とはAに所属する要素を含まない全体集合の範囲を表します。
\(U＝\bar{A} + A\)
\(\bar{A} \cap A = \varnothing\)
